הרצאות תוכן עניינים עקרונות בסיסיים של מניה... 3

Transkript

1 מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים הרצאות גרסא לא סופית עודכן לאחרונה: 9/07/009 תוכן עניינים עקרונות בסיסיים של מניה 3 עקרון הסכום עקרון הכפל 3 הכללות של עיקרון הכפל ושל עקרון הסכום 4 בעיות מניה בסיסיות 5 המקדמים הבינומיים 7 אונימודלית של המקדמים הבינומיים 7 הוכחת זהויות קומבינטוריות 8 מספרי קטלן 9 הכללות של המקדמים הבינומיים 0 מעל 0 R 4 4 המקדמים המולטינומים עקרון שובך היונים )דירכלה( עקרון ההכלה וההדחה 3 פונקצית φ של אוילר 6 )Euler( תמורות ללא נקודות שבת 7 הערכות אסימפטוטיות 8 נוסחאות קצב גידול של פונקציות 8 הערכה אסימפטוטית ל-! מקדמים בינומיים המקדם הבינומי האמצעי 3 נסיגה שיטות לפיתרון של נוסחת נסיגה 5 נוסחאות נסיגה ליניאריות 6 נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות 9 פונקציות יוצרות 3 7 פעולות wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

2 שימושים 34 תורת הגרפים 36 דרגות 37 הילוכים, גרפים קשירים גרפים מסלולים ומעגלים 37 ורכיבי קשירות 37 דו-צדדים משפט הול לגרפים דו-צדדיים 39 8 wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

3 3 הבהרה: הכל סופי אלא אם נאמר אחרת עקרונות בסיסיים של מניה עקרון הסכום עקרון הסכום )משפט(: תהינה A, B קבוצות סופיות זרות, אזי B A B A + הוכחה: נניח } m B {b,, b m },A {a,, a לכן: A B a,, a m, b,, b אז A B m + A + B מסקנה: תהיינה,A B קבוצות סופיות כאשר A B אזי A B\A B הוכחה: (B\A) B A )כאשר הקבוצות זרות זו לזו( לכן לפי עיקרון הסכום מקבלים B\A B A ומכאן B A + B\A עקרון הכפל מכפלה ישרה )הגדרה(: תהיינה A,B קבוצות המכפלה הישרה של A ושל B, המסומנת ב- B A, מוגדרת באופן הבא: A B a, b a A, b B} דוגמה: {,},A B {a, b, c} אז c)} A B {(, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, נשים לב: A ו- 3 B ולכן B A B A עקרון הכפל )משפט(: תהיינה A, B קבוצות סופיות, אזי B A B A הוכחה: נניח } m, A m, A {a,, a ו- } B,B {b,, b לכן: a, b, a, b,, a, b a, b, a, b,, a, b השורה של a השורה של היא: a היא: a m, b, a m, b,, a m, b השורה של a היא: הצגנו את הקבוצה A B כטבלה בה יש m שורות )כמספר האיברים ב- A (, ובכל שורה יש בדיוק איברים )כמספר האיברים ב- B ( לכן בטבלה הזאת וב- B A יש בדיוק B m A איברים wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

4 4 3 הכללות של עיקרון הכפל ושל עקרון הסכום עקרון הכפל המוכלל )משפט(: תהיינה,A B קבוצות סופיות ותהי R A B קבוצה )כלומר שהיא יחס בינארי על,A( B א ב אם קיים s טבעי כך שלכל a a, A משתתף בבדיוק s זוגות מ- R כאיבר ראשון, אז R A s אם קיים t טבעי כך שלכל איבר b B משתתף בבדיוק t זוגות מ- R כאיבר שני אז B R t הוכחה: נניח } m B m,b {b, b m }, A m,a {a,, a בהינתן,R נגדיר מטריצה M עם m שורות ו- עמודות באופן הבא: i m, j M ij, a i, b j R 0, a i, b j R מכאן לפי ההגדרה של M, העוצמה של R שווה למספר האחדות ב- M א( ב( לפי הנתון, בכל שורה של M יש בדיוק s אחדות, ולכן מספר האחדות הכולל ב- M הוא A s m s לפי הנתון, בכל עמודה של M יש בדיוק t אחדות, ולכן מספר האחדות הכולל ב- M הוא B t t דוגמה: נספור את כמות המספרים האי זוגיים מ- 0 עד 99 עם ספרות שונות פתרון: נסמן {,3,5,7,9} A ו-{ 0,,,3,4,5,6,7,8,9 } B ניתן לזהות כל מס' אי-זוגי x בין 0 לבין 99 עם זוג b) (a, כאשר a A ו- B b באופן הבא: x 0 b + a נסמן ב- R את הזוגות b) (a, עם a A ו- b B כאשר a b לפי הגדרת R, נובע כי R הוא המספר המבוקש נשים לב כי כל איבר a A משתתף בדיוק ב- 9 זוגות (a, b) R לכן לפי הכללת עיקרון הכפל, A R דוגמה: בשיעור משתתפים 0 בנים ומס' בנות כל בן בקבוצת שיעור מכיר בדיוק 4 בנות וכל בת מכירה בדיוק 5 בנים מהו מס' הבנות בשיעור? פתרון: נסמן את קבוצת הבנים ב- B, ואת קבוצת הבנות ב- G כמו כן, נסמן ב- R את יחס ההיכרות בין הבנים ובין הבנות בכיתה, כלומר,a) (b R אם בן a מכיר בת b לפי עיקרון הכפל: B 4 R G G 5 G 6 הערה: ביצענו פה ספירה כפולה כדי למצוא את הנעלם עקרון החיבור המוכלל )משפט(: תהיינה A,, A קבוצות סופיות זרות בזוגות אזי i A i A i i הוכחה: באינדוקציה על הגדרה: תהיינה A,, A קבוצות הכפלה הישרה של A,, A המסומנת ב- A A A הוא קבוצה המוגדרת ע"י } A A A { a, a,, a : a A,, a A wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

5 5 עקרון הכפל המוכלל )משפט(: תהיינה A,, A קבוצות סופיות אזי הוכחה: באינדוקציה על A A A A i i דוגמה: תהי A קבוצה של איברים נחשב את מספר תתי הקבוצות של A פיתרון: נרשום } A {a,, a תהי X A תת קבוצה, ניתן לאפיין את X ע"י וקטור ) χ X (ε,, ε כאשר χ X i, a i X 0, a i X דוגמה: {,,3,4,5} A χ x,0,0,,0, X A, יתרה מזאת קיימת התאמה חח"ע ועל בין התת- קבוצות של X A לבין וקטורים של 0 או באורך לכן מספר תתי הקבוצות של A שווה למספר הוקטורים באורך אשר כל רכיב בהם הוא 0 או נשים לב כי קבוצות הוקטורים הנ"ל היא בעצם {0,} לכן, לפי עיקרון הכפל המוכלל ב- 0, יש איברים, וזאת כמות תתי הקבוצות של A 4 בעיות מניה בסיסיות סימון: עבור N נסמן,,3,, בעיה בסיסית: A קבוצה של איברים - פרמטר בכמה אופנים ניתן לבחור איברים מתוך A? על מנת לענות על שאלה זאת, יש לציין: האם סדר הבחירה חשוב או לא )האם מדובר בקבוצות או בסדרות( האם חזרות מותרות או אסורות יש חשיבות לסדר אין חשיבות לסדר אסורות חזרות ב מספר הסדרות באורך עם איברים ב- A עם חזרות אסורות ד מספר תתי הקבוצות של A בגודל מותרות חזרות א מספר הסדרות באורך עם איברים ב- A ג מספר המולטי-קבוצות של A באורך א ב סופרים: מספר הסדרות באורך עם איברים ב- A למעשה, מדובר בקבוצה A בה יש A איברים מספר הסדרות באורך עם איברים ב- A ללא חזרות תמורה )הגדרה(: תהי A קבוצה של איברים תמורה π על A היא פונקציה חח"ע ועל: :π A A נשים לב: ניתן לזהות כל תמורה π על A עם סדרה באורך בה כל איבר ב- A מופיע בדיוק פעם אחת טענה: תהי A קבוצה בת איברים מספר התמורות על A שווה ל-! הוכחה: נזהה את התמורה על A עם סדרות באורך בהן כל איבר מופעי בדיוק פעם אחת נספור את מספר הסדרות הנ"ל: אם ) ε ε),, ε סדרה כזאת את האיבר הראשון ε ניתן לבחור ב- אופנים שונים בהינתן ε ניתן לבחור את ε ב-( ) אופנים ממשיכים בצורה דומה, ואז מספר הבחירות הכולל הוא:! ולכן מספר התמורות על A גם הוא! כלומר, מספר הסדרות באורך +!! בלי חזרות הוא: ג הוא:! סופרים: מספר תתי הקבוצות של איברים מתוך הקבוצה A בגודל )נניח, אחרת יש 0 אפשרויות( משפט: יהיו, N כך ש- 0 מספר התת-קבוצות בגודל מתוך הקבוצה A של איברים!! wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

6 6 הוכחה: נסמן ב- x את המספר המבוקש בהינתן קבוצה S של איברים מתוך [], ניתן ליצור ממנה! סדרות שונות באורך באופן זה, ניתן לקבל את כל הסדרות באורך של איברים מתוך [], וכל סידרה כזאת מתקבלת בדיוק פעם אחת לכן מספר הסדרות הנ"ל הוא! x מצד שני, הוכחנו בסעיף ב' כי מספר x!!!!! הסדרות הנ"ל הוא ולכן בנוסף, עבור > נסמן עבור סימון: עבור 0 שלמים, נסמן 0!! 0 0 ד סופרים: את מספר תתי הקבוצות הלא סדורות כאשר חזרות מותרות בעלות איברים מקבוצה בגודל כלומר, מספר האופנים לבחור מולטי קבוצה בגודל מתוך [] נשים לב, ניתן לתאר כל מולטי קבוצה כזאת ע"י -יה ( )x, x, x 3,, x כאשר 0 i x שלם ו x + + x יתרה מזאת, ההתאמה הזאת היא חח"ע ועל לכן, למעשה, עלינו לספור את מספר הפיתרונות של המשוואה: x + + x בטבעיים + משפט: מספר הפיתרונות של משוואה x + + x בטבעיים שווה ל- הוכחה: בהינתן פתרון ) x),, x למשוואה הנ"ל נוכל לייצגו בצורה הבאה: x times x times x times כאשר מופיע x פעמים וכך הלאה קיבלנו רשימה באורך + המורכבת מ- מספרים מתוך [] ו- מחיצות יתרה מזאת, בהינתן מיקום ( )במחיצות נוכל לשחזר את הפיתרון בצורה חד משמעית בהתאם לכך, קיימת התאמה חח"ע ועל בין הפתרונות של המשוואה הנתונה בטבעיים לבין סידור של הכמות האחרונה היא מספר האופנים לבחור מחיצות מתוך רשימה באורך מחיצות בתוך קבוצה בגודל + ולכן המספר האחרון שווה ל-! דוגמה: נמצא את מספר הפיתרונות של אי-שוויון x + + x )שלמים חיוביים( בטבעיים פתרון: עבור פתרון ) (x,, x של אי-השיוויון הנתון, נסמן ),y (x + + x אזי: ( y הוא טבעי x + + x + y ) כמו כן, בהינתן y, x,, x כנ"ל x,, x הוא פיתרון טבעי לאי השיוויון הנתון מכאן, מספר הפיתרונות של אי-השיוויון הנתון שווה למספר הפתרונות של x + + x + y בטבעיים והאחרון שווה ל wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

7 7 המקדמים הבינומי ים x + y 0 הבינום של ניוטון )משפט(: לכל טבעי ולכל,x y R מתקיים x y times x + y x + y x + y x + y הוכחה: כשנפתח את המכפלה הנ"ל, כל גורם יהיה מהצורה )x x y נבחר מתוך סוגריים, y נבחר מתוך x + y על מנת לקבוע את הערך של המקדם C, נשים לב כי הוא 0 C x y סוגריים(, לכן שווה למספר האופנים ליצור איבר x, y כלומר למספר האופנים לבחור סוגריים מהם ילקח x לכן לפי C ההגדרה של המקדם הבינומי, נובע כי 0 מסקנה: הוכחה: נציב y x בנוסחת הבינום ונקבל זהות פסקל )משפט(: + הוכחה אלגברית : קל F נסמן הוכחה קומבינטורית: נסמן ב- F את משפחת תתי הקבוצות של [] בגודל הוכחנו ש- F X X, X F x X, X שי), אבל F נשים לב ש- F F φ, F F F מכאן F F + F לבחור את האיברים הנותרים מתוך [ ]( כמוכן F )יש לבחור קבוצה בגודל מתוך קבוצה ] )[ מכאן + אונימודלית של המקדמים הבינומיים a כאשר נסתכל על הסדרה 0 a b 0 סדרה אונימודלית )הגדרה(: סדרה נקראת אונימודלית )עולה( אם קיים מספר טבעי 0 0 כך ש b b b 0 וכן b 0 b 0 + b 0 < < < < 0 < < < > אם זוגי אז טענה: א( + > > ב ) אם אי זוגי אז > > הוכחה: a נסתכל על המנה של איברים העוקבים בסדרה: wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

8 8 a a!!!! a > a + >!! ולכן + > > a > a a a 3 < a < a בדיקה המקרה של זוגי ושל אי זוגי נותנת את אותן תוצאות הוכחת זהויות קומבינטוריות הוכחה: ישיר מהגדרות 0 x + x נסתכל על השיוויון הנ"ל הוכחה: לפי הבינום של ניוטון עם y מקבלים כשיוויון בין שתי פונקציות של משתנה x, ונגזור אותן לפי x נקבל: x +!!!!!!!!! 0 x נציב x ונקבל: הוכחה אלטרנטיבית: לכן: wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

9 9 הוכחה קומבינטורית: ניתן לפרש איבר כמספר האופנים לבחור קבוצה [] S של איברים ולאחר מכן לבחור s S לכן, אגף שמאל סופר את מספר הזוגות S, s S, s S אותה כמות ניתן לספור בדרך אחרת: קודם נבחר [] s ואז נבחר [] S כך ש s S את [] s ניתן לבחור ב- אופנים, ואחרי שהוא נבחר ניתן לבחור את [] S אשר מכילה אותה ב- אופנים לכן המספר הכולל של הזוגות s) (S, כנ"ל הוא לכן, הוכחה קומבינטורית: הסכום סופר את מספר הקבוצות במשפחה F של תתי קבוצות של [] בעוצמה זוגית 4 + סופר את מספר הקבוצות במשפחה F של תתי קבוצות של [] בעוצמה אי- הסכום זוגית לכן, די להראות שהעוצמה של F היא העוצמה של F נגדיר את ההתאמה :φ F F באופן הבא: לכל T T T φ )לדוגמה, אם 5 אז,,3,5,,3 T ו- קבוצה T F נגדיר T\ T,3,3,5 )T נשים לב שלכל T F מתקיים: + T φ T או T φ T ובשני המקרים שונה מזו של T לכן φ מעבירה קבוצות זוגיות אל קבוצות אי-זוגיות ומכאן, אכן, :φ F F כמוכן, קל לראות ש- φ היא חח"ע ועל ולכן, F F כרצוי 3 מספרי קטלן לכל ז"א כל i a i i סדרה מאוזנת )הגדרה(: סדרה של ± נקראת מאוזנת אם 0 i a הסכומים החלקיים של הסדרה הם אי-שליליים? i a i 0 ו- a i, שאלה: מהו מספר הסדרות המאוזנות 0i a i כאשר הוכחה: נסמן ב- S את משפחת הסדרות של אחדות ושל מינוס אחדות נסמן S s נשים לב s כמו כן, נסמן ב- B את משפחת הסדרות המאוזנות באורך ונסמן b כמו כן, נסמן B U S \B את הסדרות הלא מאוזנות באורך ונסמן U u כיוון ש S B U מתקיים b s u תהי a a סדרה לא מאוזנת אז לפי ההגדרה קיים כך i u i a ש < 0 i i a נסמן 0 את ה- הראשון עבורו זה מתקיים כעת, נגדיר סדרה חדשה i a i באופן () 0 i a i, i 0 + a i a i a i, i 0 a i, 0 + i הבא: אז מתקיים נחשב )בהמשך נקרא לפעולה זו פעולת ההיפוך( wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

10 0 0 () i a i i a i + a i 0 i 0 + i a i + a i i a i i 0 + i + a i ומ-) ( נקבל + a נוכיח כי הפעולה הנ"ל הופכת סדרות לא מאוזנות לסדרות לעיל היא חח"ע ועל בהינתן סדרה i a i כנ"ל נגדיר 0 להיות המקום הראשון בו הסכום החלקי > 0 i i a )מקום זה קיים כי הסכום הכולל הוא ( a a i i, i 0 וקיבלנו סידרה לא מאוזנת ובה 0 נגדיר עתה סדרה: i a a i ע"י a i, 0 + i המקום הראשון עם סכום חלקי שלילי לכן נפעיל את פעולת ההיפוך על a שקיבלנו ונקבל את a בחזרה ולכן ההתאמה היא אכן חח"ע ועל אז הראינו שקבוצת הסדרות הלא מאוזנות באורך היא שוות עוצמה לסדרת הסדרות באורך עם + מינוס אחדות אבל עוצמת הקבוצה השנייה היא ו- s אז מכאן + u + b s u +!!!! +!!!!! +!!! +! +!! + - סדרת מספרי קטלן C ו- )Catala( נקרא מספר קטלן C + הגדרה: המספר 4 הכללות של המקדמים הבינומיים 4 מעל R כאשר, N!!!, 0 0, > ראינו נשים לב שאם x N נקבל את הגדרת המקדם x x x x +! הגדרה: x R ו- טבעי: הבינומי הרגיל wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

11 4 דוגמה: הוכח כי פיתרון: 3 5 +! 3 5!! 3 5 7!! 4 6!!! 4!! 4 + x α 0 α x טענה: עבור α R קיים < x כך ש עבור > ולכן למעשה נזכור כי 0 + x 0 הוכחה: אם α N נקבל x המשך 0 x 4 המקדמים המולטינומים a+b a מספר הסדרות של 0, עם a אפסים ו- b אחדות הוא דוגמה: נחשב את מספר המילים באורך a + b + c פעמים, מופיעה c פעמים מעל א"ב {0,,} כאשר 0 מופיעה a פעמים, מופיעה b b+c b b + c מקומות אז ל- נקבל a+b+c a פיתרון: ל- 0 אופנים נשארו אופציות אז הפיתרון ומה שנשאר זה אבל אין עוד הוא a + b + c a b + c b a + b + c! a! b + c! b + c! b! c! a + b + c! a! b! c! משפט: יהי מספר המילים מעל א"ב,,, באורך בהן האות i מופיעה i! פעמים הוא!!! הוכחה: באינדוקציה על!!!!,,, i נוסחת המוליטינום )הגדרה(: אם 0, שלמים כך ש- i אז wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

12 x + + x + +,, N משפט: לכל x,, x ממשיים לכל טבעי מתקיים, x,,, x x הוכחה: שתי אפשרויות: באינדוקציה על או, כל מחבר בתוצאה מתקבל ע"י בחירה של x i כלשהו בכל אחד מ- הסוגריים ולכן מהצורה x הוא מספר האופנים x כאשר כמו כן, המקדם של x x + + להרכיב מילה באורך באותיות {,,} שבה האות i מופיעה פעמים במספר הזה שווה לפי i,,, הגדרה ל- עקרון שובך היונים ) )דירכלה 3 משפט: אם מכניסים + יונים ל- שובכים אז יש לפחות שובך אחד עם לפחות שתי יונים הוכחה: אם בכל שובך לכל היותר יונה אחת אז + מספר היונים מספר השובכים סתירה ניסוח נוסף: אם f פונקציה [] f: + אז f לא חח"ע דוגמה: תהי [] X בת + איברים שונים הוכיחו שיש שניים שמתחלקים ללא שארית הוכחה: לכל מספר טבעי ניתן לרשום כך: l b כאשר b אי זוגי ו- 0 l נסמן + X x, x,, x נסיק גם b i כאשר b,x i l i i אי זוגי בקבוצה [] יש מספרים אי זוגיים אבל, יש לנו + b -ים i לכן, מעיקרון שובך היונים יש איזשהם i j כך ש b i b j כעת, נניח בה"כ N l i l j l i b i x i lj b j x j x i > x j אז תרגיל: הוכיחו כי בסדרה:,7,77,777,7777 יש מספר שמתחלק ב- 009 הוכחה: נראה שיש מספר כזה כבר ב- 009 האיברים הראשונים הביט באיברי הסדרה מודולו 009 )השארית בחלוקה ב- 009 ( אם יש איבר שמשאיר שארית 0 בחלוקה ב- 009 אז סיימנו אחרת, יש שני איברים של הסדרה ששווים מודולו 009 בגלל עקרון שובך היונים )עשה( יש 008 שובכים, השאריות האפשריות 008 ויש 009 יונים, סדרת השאריות - השאריות שמתקבלות מהסדרה כלומר, יש x j, x i שונים כך ש- x i c i r ו- x j c j r בה"כ נניח )i > j( x i > x j אז c i c j 009 x i x j i j x i x j j j i j i j 0 j זר ל- 009, x מתחלק ב- 009 לכן 7 7 i j wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

13 3 משפט :Erdӧs-Szeers לכל סדרה של + ממשיים שונים אז או שיש תת סדרה מונוטונית עולה ממש באורך + או שיש תת סדרה מונוטונית יורדת ממש באורך + הוכחה: נסמן את אברי הסדרה ב- ( x, x,, x s + לכל i s נסמן ב- p )s i את אורך תת הסדרה המאקסימאלית המונוטונית עולה עד לנקודה i בדומה, נסמן ב- q i את אורך תת הסדרה המונוטונית יורדת הארוכה ביותר עד המקום ה- i לדוגמה,,,4) (8,3,7,6, 9, אז עבור 5 i p 5 3, q 5 : אם עבור i מסויים + p i או + q i אז סיימנו נניח בשלילה שאין q i או p i כאלה אז לכל i p i, q i כמה ערכים אפשריים יש ל ) i?(p i, q מעיקרון הכפל יש לנו s + זוגות 3 p, q, p, q, p 3, q מעיקרון שובך היונים יש i j כך ש p i p j וגם q i q j נניח בה"כ ש i, > j נניח גם x i > x j אז יש סידרה מונוטונית עולה באורך p j המסתיימת ב- x j אם נוסיף לה את x, i נקבל סדרה מונוטונית עולה המסיימת ב- x i באורך + i p j + p וקיבלנו סתירה לכן קיימת סדרה מונוטונית באורך + האם משפט ארקש-סקרש הדוק? כן לדוגמה הסדרה (7,8,9,4,5,6,,,3) בעלת 3 9 איברים אין סדרה עולה או יורדת באורך 4 כלומר, חייבים לדרוש שהסדרה תהיה באורך + תרגיל: תחרות שח עם מתמודדים כל אחד משחק משחק אחד וכל אחד משחק משחק אחד מול כל יריב הראו שבכל רגע נתון, יש שני אנשים שהשלימו אותו מספר משחקים פיתרון: ניתן להתבונן על השאלה כגרף כאשר מחברים שני צמתים בקשת אם השחקנים שיחקו מחפשים שני צמתים שדרגתם זהה מהן הדרגות האפשריות?,,0,, אז יש דרגות אפשריות אבל אם יש צומת מדרגה 0 אז אין צומת מדרגה לכן במצב כזה יש דרגות אפשריות ו- צמתים אז מעיקרון שובך היונים יש שני צמתים עם אותה דרגה אם אין צומת מדרגה 0 אז באופן דומה תרגיל: צלף יורה s חיצים למטרה מצורת משולש שווה צלעות עם אורך צלע )כל החיצים פגעו במטרה( הראו שיש שניים שמרחקם אחד מהשני הוא לכל היותר מטר אחד פתרון: מעיקרון שובך היונים יש שני חצים שפגעו באותו משולש וסיימנו עקרון שובך היונים המוכלל: אם מכניסים + יונים ל- שובכים אז יש לפחות שובך אחד עם + יונים f: + x f x + עקרון ההכלה וההדחה 4 בעיה: בהינתן קבוצות A,, A וגודליהן וגודלי כל החיתוכים שלהם כלומר, ידוע A A,, A,, A, A A,, A A איך מחשבים את גודל האיחוד?A A נחשב עבור : טענה: A A A + A A A הוכחה: נשווה את שני האגפים של השוויון הנ"ל יהי x A A תורם לאגף שמאל לאגף ימין יש מספר אופציות: אם x A \A אז אם x A \A אז תורם באגף ימין תורם באגף ימין x x )( )( wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

14 4 x תורם ל- A ותורם ל- אם x A \A וגם x A \A אז x ותורם ל- A A ובסה"כ כלומר x A A אז A )3( אז בסה"כ האגפים שווים עבור 3 נקבל A A A 3 A + A + A 3 A A A A 3 A A 3 + A A A 3 עקרון ההכלה וההדחה )משפט(: תהיינה A,, A קבוצות סופיות אזי i A i A i I I i I I A i φ I i I הוכחה: יהיה x A A אז x תורם בדיוק לאגף שמאל נחשב את התרומה של x לאגף ימין נניח כי t קבוצות כאשר t שייך לבדיוק x עבור הגורמים A i נקבל ש- x t t תורם עבור הגורמים A i A j נקבל ש- x t תורם t 3 עבור חיתוך של 3 קבוצות x תורם t t t t ממשיכים באותה צורה ומקבלים שעבור חיתוך של t קבוצות x תורם t i t i i לכן התרומה של x היא סה"כ: ) אז כבר ראינו זהות דומה שמתחילה ב- 0 ולא ב- ( 0 0 t i t i i t i t t i i0 i t i i מכאן ש- x תורם בדיוק לאגף ימין )ללא תלות ב- t ( ולכן שני האגפים שווים הצורה המשלימה של עקרון ההכלה וההדחה )מסקנה(: תהיינה A,, A S תת קבוצות סופיות של קבוצה כי A S\ A A S I i S\A i אז, φ I סופית S אזי i I A i x x 4 S\ A A A A A דוגמה: נחשב את מספר הפיתרונות של משוואה 9 3 x + x + x מעל השלמים עם האילוצים wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

15 5 x פיתרון: נזכור כי מספר הפיתרונות בטבעיים של משוואה y + y + + y הוא )( החלפת משתנים: y x y x + y 3 x 3 המשוואה החדשה היא 9 y + + y + y 3 + או y + y + y 3 8( ) 0 y 0 y 6 0 y 3 נסמן ב- S את קבוצת הפיתרונות של ( ) בטבעיים אז 45 0 S ללא האילוצים נשתמש בעיקרון ההכלה וההדחה על מנת להדיח את הפיתרונות שלא עומדים באילוצים נסמן: y קבוצת הפיתרנות של )*( בטבעיים כאשר - A y קבוצת הפיתרנות של )*( בטבעיים כאשר 7 - A y 3 קבוצת הפיתרנות של )*( בטבעיים כאשר 3 - A 3 עלינו לחשב את 3 S\(A A A לפי עיקרון ההכלה וההדחה: )( S\(A A A 3 S A A A 3 A A A 3 + A A + A A 3 + A A 3 A y, y, y 3 y + y + y 3 8, y z y z y z 3 y 3 z + z + z 3 6, A 3 נחליף משתנים נקבל 3+6 A נבצע פעולות דומות עבור A, A ונקבל כלומר A 3 נחשב את A A 3 A A 3 y, y, y 3 y + y + y 3 8, y, y 3 3 נקבל באופן דומה: 0 A A 3 0, A A 3 0, A A ולכן גם 0 3 A A A ולכן S\ A A A 3 3 wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

16 6 4 ת פונקצי φ של אוילר )Euler( x טענה: יהיו x מספרים שלמים אז קיימים בדיוק x מספרים שלמים בין לבין אשר מתחלקים ב- x הוכחה: הכפולות של x בתוך הקבוצה הן x, x, 3x,, x כאשר x ולכן דוגמה: כמה מספרים שלמים בין לבין 600 לא מתחלקים ב- 3,5 או ב- 7? פיתרון: נגדיר 600 S ו- A x x S, 3 x A x x S, 7 x A 3 x x S, 5 x עלינו לחשב ) 3 S\(A A A ומתקיים S 600, A , A , A A A x S 3 x 5 x x S 5 x A A ובאופן דומה נקבל 5 3 A A 3 8, A A 3 7, A A A מכאן התשובה היא φ φ m m, gcd m, הגדרה: פונקציות אוילר φ מוגדרת באופן הבא: פרט ל- בין ל- היא עוצמת קבוצת כל המספרים שאין להם גורמים משותפים עם φ כלומר, לכל, משפט אוילר: יהי שלם חיובי ויהיו p,, p כל המחלקים החיוביים של אז φ i p i הוכחה: נגדיר S A i x x, p i x A i p i p i S\ φ מעיקרון ההכלה וההדחה לכל i מתקיים לכן i A i לכן, לכל A i A j באופן כללי לכל φ I מתקיים i j מתקיים p i p j p i p j wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

17 7 i I A i i I p i לכן, לפי עקרון ההכלה וההדחה φ S I A i φ I i I p p p p p p p 3 p p p p p p p p p p p p p i i 4 תמורות ללא נקודות שבת תמורה )הגדרה(: :f נקראית תמורה אם f חח"ע ועל סימון: S קבוצת כל התמורות על איברים נקודת שבת )הגדרה(: i נקראית נקודת שבת של σ S אם σ i σ כאן 4 היא נקודת שבת של, σ דוגמה: תרגיל: מהו מספר התמורות על איברים ללא נקודות שבת? פיתרון: עבר i נסמן A i σ S σ i i S לכן, יש לחשב את העוצמה של S\ A A נשים לב שעבור i מתקיים! A i כי מסדרים את כל האיברים מחדש פרט ל- i כמו כן, A A σ S σ, σ לכן, ולכן! A A באופן כללי יותר, לכל φ I נקבל! I i I A i לפי עיקרון ההכלה וההדחה מקבלים S\ A A! I A i!!! φ I i i! i! i! i!! i! i i i I i i! i i i! i i! wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

18 א) 8! i0 i i! e e אז עבור ( )i i0 i! x e )טור טיילור סביב )0 נציב x ונקבל! e x i i0 i! הערה: נזכור כי מספיק גדול התשובה היא בערך בעיה זו נקראת גם "בעיית הכובעים" גברים במסיבה מניחים את הכובע בכניסה כשמגיעים כולם עוזבים בו זמנית כאשר כל אחד לוקח כובע באופן אקראי השאלה היא כמה צורות יש לגברים לקחת את הכובעים שלהם כאשר אף אחד לא מקבל את הכובע שלו חזרה 5 הערכות אסימפטוטיות קצב גידול של פונקציות 5 דוגמא: f log f f f ניתן להסיק: f f f 3 f 4 סדרות של מספרים אי-שליליים כך f, g ו- g סימונים: תהיינה f f c g כך ש c אם קיים > 0 f O g f c g כך ש c אם קיים > 0 f Ω g c g f c g כך ש c, אם קיימים קבועים c f Θ g f lim אם 0 f o g g נכתוב נכתוב נכתוב נכתוב דוגמאות: g אם a b 0 אז a O b אם < a < b 0 אז a o b לכל > 0 c a >, מתקיים ) c o(a לכל > 0 a ולכל > 0 c מתקיים log c o a הטור ההרמוני: לכל שלם וחיובי נסמן g, ומתקיים i i ) נתבונן בסכום )( )( )3( )4( )5( g i i g g wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

19 9 לכן i i log + i i g log + כמו כן i i log i i g log אז log log + Θ log אז f i i 3 )6( f i i f i 3 i 3 i i f Θ 4 f Θ מקיים + f i i אז באופן כללי קירוב על ידי שימוש באינטגרל )משפט(: תהי + R :f R פונקציה רציפה f x dx f i m im f x dx f(i) m im אם f מונוטונית לא יורדת אז + f x dx m מונוטונית לא עולה אז + f x dx m אם f )( )( הוכחה: נסמן f הוא שטח המלבן בגובה ורוחב כלומר, בחלוקה לקטעים באורך שטח המלבן מתחת לגרף אז f i f )( מלבנים מתחת לגרף אז im f i f x dx + m wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

20 0 ו f לא יורדת אז f x dx f i m im m m והוספנו שטח בגודל f x dx + החסרנו שטח בגודל f x dx באותו אופן אם ניקח את הפונקציה f ונסובב אותה סביב מרכז הקטע,m חזרה את כיווני אי השוויון ונקבל את )( נקבל את מקרה )( נשנה )( i f i דוגמה: הטור ההרמוני פיתרון: נגדיר x f ואז x + dx x f x dx l(x) + l + l() l + l x l אז l l + x 3 dx 0 x i3 4 i 4 i3 i + x 3 dx i i x O 3 דוגמה: f i i 3 פיתרון: ולכן wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

21 הערכה אסימפטוטית ל-! N 5 l! l מפורשת" f() כך ש! + o f i l i המטרה: למצוא פונקציה "יותר צעד ראשון: נשים לב! ולכן לכן l! l i i + l x dx x l x x + + l l( + ) ולכן! e + l e באופן דומה, l! l i i l x dx x l x x l() +! e l e e e e ולכן בסה"כ e e! + + e נוסחת סטירלינג :)Stirlig( lim ובאופן שקול! π e! + o π e wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

22 מקדמים ם בינומיי 35 טענה: לכל 0 x מתקיים + x e x הוכחה: נתבונן ב- x f x e x ונוכיח 0 x f לכל 0 x f x e x, f x 0 x 0 f 0 e x, f 0 > 0 מכאן 0 x היא נקודת מינימום, 0 f 0 e 0 0 מכאן ש 0 x f לכל x טענה: לכל < קיים! +!! הוכחה: )נשים לב ש השבר הקטן ביותר מבין כולם( ולכן e טענה: לכל < מתקיים: לכל 0 x מתקיים e הוכחה: נוכיח טענה יותר חזקה, + x i0 i x i i i x i נחלק את שני האגפים ב- x ונקבל + x x 0 x + x + + אם בנוסף נניח כי x אז נובע + x x נבחר,x נקבל < + + ובגלל ש + x e x אז + e e אם 0 אז wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

23 3 המקדם הבינומ י האמצעי 45 המקדם האמצעי: i i0 באשר 0 כמו כן, הוכחנו כי הוא הגדול ביותר מבין המקדמים הבינומיים לכן, i0 i + + כלומר +!!! + o π e π e מסטירלינג נקבל קירוב יותר מדויק: + o π נוסחאות 6 נסיגה בהן אין איברים עוקבים שווים נחשב את דוגמא: נסמן ב- g() את מספר הסדרות באורך מעל א"ב 0,, g() פיתרון: 3 g 6,g נטען שלכל מתקיים g g אינטואיטיבית זה נכון כי מוסיפים עוד איבר לסדרה, הוא לא יכול להיות האיבר האחרון בדרה הקודמת אז נשארות שתי אופציות אז כופלים ב- לכל סדרה חוקית a,, a יש בדיוק שתי דרכים להרחיבה לסדרה באורך זאת, ע"י בחירה של a a ויש סה"כ שתי בחירות כאלו קיבלנו 3 g ו- g g עבור הנוסחא השנייה נקראת נוסחת נסיגה )נסוגים אחורה כדי לחשב את האיבר הבא( ויש לנו הגדרה חד משמעית של g() כעת נרצה לפתור את נוסחת הנסיגה כלומר לקבל נוסחא ישירה ללא רקורסיה די ברור מנוסחת הנסיגה ש: g 3 צריך להוכיח את זה נוכיח את הנוסחא הישירה באמצעות אינדוקציה על עבור, g 3 כרצוי נניח עבור שמתקיים 3 g ונוכיח עבור g g 3 3 כרצוי wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

24 4 ע"י F 0 F ו-+ F F סדרת פיבונצ'י :)Fiboacci( נגדיר סדרה 0 F כאשר F F i0,,,3,5,8,3, ננסה לכתוב נוסחא מפורשת עבור סידרת פיבונצ'י ניתן הערכה ראשונית לקצה הגידול של סדרת פיבונצ'י F היא סדרה לא יורדת F F + F F 4F F F + F F 4F 4 מגדלי האנוי :)Haoi( שלוש מוטות מאונכים לקרקע על מוט מספר אחד מושחלות טבעות בגדלים שונים צריך להעביר את הטבעות למוט אחר ובתהליך אסור בשום מקרה שטבעת גדולה תהיה מונחת על טבעת קטנה () Rig > Bar 3 () Rig > Bar (3) Rig > Bar (4) Rig 3 > Bar 3 (5) Rig > Bar (6) Rig > Bar 3 (7) Rig > Bar 3 פיתרון עבור 3 : כל פעולה כזאת שעשינו היא פעולה אלמנטארית במערכת הזו נסמן ב- את מספר הפעולות המינימאלי הנחוץ בכדי להעביר הטבעות ראינו: 7 3, משפט: לכל, מתקיים הוכחה: נוכיח תחילה את החסם העליון, ע"י תיאור של האלגוריתם שמבצע את המשימה ב- פעולות נוכיח כי + האלגוריתם: נעביר את - הטבעות הקטנות ממוט אל מוט ניתן לעשות זאת ב- פעולות נעביר את הטבעת ה- ממוט למוט 3 נעביר את הטבעות,, ממוט למוט 3 וזאת אנחנו עושים ב- פעולות )( )( )3( אז + נוכיח את החסם התחתון: + נניח שיש טבעת עוברת למוט מספר 3 ברגע זה אלגוריתם אופטימאלי ונסתכל על הרגע בו )( מוט 3 ריק )( על מוט מסודרות טבעות,, )3( על מוט מונחת רק טבעת לפי אינדוקציה על מנת להעביר את הטבעות הקטנות למוט נחוצות לפחות פעולות פעולה 3 לפי אינדוקציה לוקחת לפחות פעולות לכן החסם התחתון הוא + אז הראינו עד כה, + wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

25 5 וקל לראות ולהוכיח פורמאלית ש מטרה: למצוא נוסחא כללית וישירה לאיבר הכללי אשר נתונה ע"י נוסחת נסיגה שיטות נסיגה נוסחת של לפיתרון 6 החלפת משתנים דוגמא: ) (,3,7,5,3,63, או + g ע"י + g אז,4,8,6,3,64, פיתרון: נגדיר סדרה חדשה g g + g + g ולכן קיים g g, ועבור נגדיר g אז הפיתרון: g ולכן g הצבה חוזרת דוגמא: +, פיתרון: ( ניתן לנחש כי + נציב ונקבל + לכן, הניחוש הוא, נוודא כי הניחוש הנ"ל אכן פותר את נוסחת הנסיגה באינדוקציה על עבור צעד האינדוקציה: + + wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

26 ית- 6 נוסחאות נסיגה ת ליניאריו 6 נוסחת נסיגה ליניארית )הגדרה(: f c f + c f + + c r f + g() כאשר 0 r c נקראת נוסחת נסיגה ליניארית מסדר r לדוגמה סידרת פיבונצ'י היא ליניארית ומסדר נוסחא נסיגה ליניארית הומוגנית )הגדרה(: נוסחא נסיגה ליניארית כאשר 0 g פיתרון נוסחת נסיגה )הגדרה(: סדרה 0 פותרת את נוסחת הנסיגה f g + c i f( i) r i אם f g + c i i r i תנאי התחלה )הגדרה(: בהינתן נוסחא ליניארית מסדר r, כלומר r מספרים r f 0, f, f,, f נקראת תנאי התחלה עבור סדרה הערה: בהינתן נוסחת נסיגה מסדר r קביעת תנאי התחלה קובעת חד-משמעית את הסדרה משפט: תהי i) )*( f i c i f( נוסחת נסיגה ליניארית הומוגנית מסדר,r אז קבוצה W של כל הפתרונות של (*) הוא תת מרחב ליניארי כאשר dim W r r הוכחה: W הוא תת-מרחב של מרחב הסדרות יש לוודא ש W φ א( לכל a, b W מתקיים a + b W ב( לכל a W ולכל λ R מתקיים λa W ג( )( תרגיל )( נוכיח dim W r לכל r i 0 נגדיר תנאי התחלה מספר i באופן הבא: r 0, 0,,0,,0 כאשר במיקום ה- i עתה, עבור r i 0 נציב תנאי התחלה מספר i ונקבל את הפיתרון לדוגמה: ) f( f f + תנאי התחלה,0 :0 אז ) (,0,,,, 0 u תנאי התחלה 0, : אז ) (0,,,, u r u i 0, 0,,0,,0, c i, wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

27 7 קיבלנו r וקטורים r u 0,, u שהם פתרונות של נוסחא )*( ל- r תנאי התחלה שונים ולכן הם כולם שייכים ל- W נשים לב, ב- r הקורדינאטות הראשונות הווקטורים נראים כך: 0 0 r r וכיוון שקיבלנו את מטריצת היחידה נובע כי הווקטורים r u 0,, u הם בלתי תלויים ליניארית r u 0,, u r פורשת את W יהי x x אז נגדיר y i0 x i u i נראה נוכיח ש- ש- y פיתרון של (*) כיוון ש- W תת מרחב ו- W u 0,, u r גם y W כצירוף ליניארי של וקטורים בתת המרחב נשים לב, לכל r i 0 מתקיים y i x i u i i x i לכן, r, פתרונות של נוסחת נסיגה מסדר הם ו- y x - קואורדינאטות ראשונות כיוון ש r מזדהים על,x y r שניהם נקבעים באופן יחיד ע"י תנאי התחלה וגם x y קבלנו ש x כלשהו הוא צירוף x i i0 ליניארי של r u 0,, u לכן r u 0,, u היא קבוצה הפורשת את W u i )3( הערה: נשים לב כי וקטור פולינום אופייני )הגדרה(: בהינתן נוסחת נסיגה עדיין מוגדר ע"י נוסחת נסיגה ולא ע"י נוסחא ישירה מסדר r הפולינום r הומוגנית f i c i i P x x r c x r c x r c r x c r x r r i c i x r i נקרא הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה f() לדוגמה: ) f( f f + הפולינום האופייני שלו הוא x P x x משפט: תהי f i c i i נוסחת נסיגה מסדר r נניח כי λ R הוא שורש של הפולינום האופייני P(λ) של הנוסחא אזי הסדרה ), x (, λ, λ המוגדרת ע"י 0 x λ, היא פיתרון של נוסחת הנסיגה r הוכחה: כיוון ש- λ הוא שורש של P x מתקיים λ r c λ r + c λ r + + c r λ + c r לכן סדרה x מקיימת x r λ r c λ r + c λ r + + c r λ + c r c x r + c x r + + c r x + x 0 λ λ r λ r λ r c λ r + c λ r + + c r λ + c r c λ + c λ + + c r λ r+ + c r c r c x + c x + + c r x r לכן x(r) מקיים את נוסחת הנסיגה הנתונה כמו כן, לכל > r מתקיים ולכן גם איבר x() עבור > r מקיים את נוסחת הנסיגה הוכחנו כי סדרה x מקיימת את נוסחת הנסיגה, ולכן x הוא פיתרון שלה הערה: להבדיל מ- u i של המשפט הקודם, הווקטור x הוגדר ע"י נוסחא ישירה של האיבר הכללי x λ wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

28 8 משפט: תהי f i c i i נוסחת נסיגה מסדר r נניח כי לפולינום האופייני P x שלה קיימים ש r ורשים שונים λ,, λ r אז הפיתרון הכללי של הנוסחא הוא: 0, f a i λ i r i r כאשר a,, a r R כמו כן, לכל תנאי התחלה r f 0, f,, f קיימת בחירה יחידה של המקדמים a, a r הוכחה: נגדיר r וקטורים )סדרות למעשה( x,, x r באופן הבא x i (, λ i, λ i,, λ r i, ) לפי משפט קודם קיבלנו r פיתרונות של הנוסחא נוכיח כי הקבוצה x,, x r הקורדינטות הראשונות של x,, x r נקבל מטריצה: r λ λ λ היא בת"ל נסתכל על r M r λ r λ r λ r מטריצה זו נקראת מטריצת Vadermode והדטרמיננטה שלה: det M i<j λ i λ j כיוון שהנחנו שיש r שורשים שונים לפולינום האופייני (השורות של M( נובע כי 0 M det לכן, השורות של M הן בת"ל ומכאן x,, x r הם בת"ל כיוון שהמימד של מרחב הפיתרונות W של הנוסחא הוא r ו- x,, x r W נובע כי x,, x r הוא בסיס ל- W מכאן הפיתרון הכללי של הנוסחא, כלומר הווקטור הכללי של W הוא: r x a i x i i עבור a,, a r R קבועים כמוכן, כל קביעת תנאי התחלה r f 0,, f קובעת חד-משמעית את הפיתרון x וכל פתרון x הוא צירוף ליניארי של x,, x r x r i איך מוצאים את המקדמים?a,, a r בהינתן תנאי התחלה r f 0,, f נרשום a i x i את תנאי ההתחלה ונקבל: 0 i r f i λ i a r קבלנו מערכת משוואות ליניארית עם r משוואות )כמספר תנאיי ההתחלה( ו- r משתנים a,, a r למערכת קיים פיתרון יחיד כי מטריצת המקדמים שלה היא מטריצת Vadermode )המשוחלפת( r i wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

29 9 דוגמא: סדרת פיבונצ'י λ, ± 5 f f + f ; f 0 ; f פיתרון: הפולינום האופיינישל הנוסחא הוא x P x x השורשים של P(x) הם f a λ נשתמש בתנאי ההתחלה למצוא את a, a נקבל לכן הפיתרון הכללי הוא + a λ f 0 a λ 0 + a λ 0 a + a f a λ + a λ a λ + a λ a 5+ 5 קבלנו מערכת ליניארית בשתי משתנים פותרים את המערכת ומקבלים, a לכן, הפיתרון לשאלה היא הסדרה 0 I f המוגדרת ע"י f r הערה: הנוסחא תמיד נותנת מספר שלם שורשים מרובים לפולינום אופייני )משפט(: תהי 0 r f i c i f i, c נניח כי λ,, λ r עם ריבויים אלגבריים S P x λ r i,, S כאשר כל השורשים השונים של הפולינום האופייני 0i c i i S i r אזי תת המרחב של הפתרונות נפרש על ידי הסדרות הבאות שהן מהוות בסיסו לכל i הסדרות הבאות λ i 0, λ i 0,, S λ i 0 כך שכל שורש תורם S i סדרות לבסיס תת המרחב המבוקש הוכחה: תרגיל צריך לבדוק שאכן כל הסדרות האלו הן פיתרון וגם שהקבוצה הזו היא בת"ל 6 נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות f g + f משפט: תהי f() משוואת נסיגה ליניארית לא הומוגנית r i r i c i f i c i f i ותהי המשוואה ההומוגנית המתאימה המשוואה ההומוגנית המתאימה נניח כי סדרה 0 a a פותרת את אז סדרה 0 b b פותרת את אמ"מ הסדרה a b המוגדרת ע"י b() a היא פיתרון של הוכחה: כיוון ראשון: b פותרת את ויש להוכיח כי פותרת את נתון,a b פותרת את ולכן )( wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

30 30 a c a + + c r a r + g b c b + + c r b r + g a b c a b + + c r a r b r c + + c r r הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית 0 כלומר ולכן אז יש להוכיח ונתון a פותרת את כיוון שני: נתון 0 b a פותרת את a c a + + c r a r + g c + + c r r b c b + + c r b r + g נחסיר את המשוואות ונקבל ולכן גם b פותרת את )( מסקנה: הפיתרון הכללי של משוואת נסיגה לא הומוגנית הוא פתרון פרטי של המשוואה הלא הומוגנית + פיתרון כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה דוגמה: סדרה 0 המוגדרת ע"י 0 0 +, פיתרון: נסתכל תחילה על משוואת נסיגה לא הומוגנית + נשים לב הסדרה ), (, b פותרת את המשוואה המשוואה ההומוגנית המתאימה היא הפולינום האופייני הוא x p x השורש של p(x) הוא λ ולכן הפתרון הכללי של הנוסחא ההומוגנית הוא a לכן, ממשפט קודם, הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא a לפי תנאי התחלה 0 0 a אז a אז אלגוריתם לפיתרון נוסחאות נסיגה לא הומוגניות )מהתרגול(: תהי f() נוסחת נסיגה לא הומוגנית: f c f + c f + + c r f r + p δ + p s δ s f a, f a,, f r a r הפולינום האופייני הוא x r c x r c r מוצאים את הפולינום האופייני מוצאים את שורשי הפולינום האופייני את ריבויים לכל שורש α נסמן את ריבויו ב- m α אם α אינו שורש של הפולינום האופייני אז 0 α m q i m(δi) ודרגת q i כדרגת לכל איבר לא הומוגני מהצורה p i δ i מתאימים איבר בפתרון δ i p i מוצאים את q i על ידי הצבה בנוסחת הרקורסיה נסמן deg p i q i b i x i i0 deg p b i i i0 ונמצא את מקדמי q, i על ידי הצבה בנוסחת הנסיגה באופן הבא: q i m δ i δ i r c j j deg p b i i i0 q i j j m δ i δ i j + s i p i δ i נשווה את מקדמי הפולינום אחרי פיתוח ונקבל את wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

31 3 m λ i s f a ij j λ i + q i m δ i δ i i j 0 i a ij λ i צורת הפתרון היא הוא השורש ה- i את מוצאים מתנאי ההתחלה ע"י הצבה מספר השורשים השונים, 3 הוכחה: הובא ללא הוכחה 7 פונקציות יוצרות דוגמא: סדרת פיבונצ'י f f + f ; f 0 ; f x F אז f x נגדיר פונקציה 0 F x + x + f x + + f + f x + + f x + f x + x + x f x + x f x + x + x F x + x F x + xf x + x F x x F נפתח את F(x) לטור מקלורן )טור טיילור x x F X x x x λ ולכן + λ x λ x, λ 5 קיבלנו F x + xf x + x F x ולכן, מסביב ל- 0 ( השורשים של x x הם נזכור + x + x + x אז x 5 x 5 λ λ λ λ x λ λ x wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

32 3 מכאן: f x f נקראת הפונקציה a x 0 פונקציה יוצרת )הגדרה(: תהי 0 a a היוצרת של a סדרה הפונקציה משפט: נניח כי עבור סדרה 0 a a מתכנס בקטע קיים קבוע > 0 כך ש a עבור כל אז הטור x f יש נגזרות מכל סדר ב- a x יתרה מזאת, לפונקציה 0, a f 0! 0 a x 0 x וכן הוכחה: חדו"א דוגמאות: f x x הפונקציה המתאימה היא אז שונה מ- 0 במקום ה- a (0,,0,, 0, ) לסדרה ), 3 a (,,, α אז הוא מתאים α α α +! לכן, אם a α אז f x + x α היא הפונקציה 0 f x x,,, a אז f x באופן כללי אם יש פונקציה x תזכורת: עבור α R ו- N נסמן + α 0 α אז x היוצרת של a )( )( )3( 7 פעולות הסדרות a, b והפונקציות היוצרות שלהן f x, g x בהתאמה f + g x αf x )( סכום: מתקיים שעבור הסדרה a + b היא )( כפל בסקלר: α a והפונקציה היוצרת שלה )3( הזזה ימינה: ), a (0,,0, a 0, a הזזה ב- צעדים אז הפונקציה המתאימה f x x f x x f נסתכל על a x 0 )4( הזזה שמאלה: דוגמה: 0 a a והפונקציה היוצרת f x a 0 a x a x a x x 3 a x 3 3 x 3 a +3 x 0 wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

33 33 f x a 0 a x a x x 3 0 a +3 x f x a 0 a x a x x 3 הסדרה ), 4 (a 3, a היא ולכן ולכן הפונקציה היוצרת של c α a יוצרת את הסדרה f αx )5( החלפת x ב- αx אם f פונקציה יוצרת של a אז )6( החלפת x ב- :x אם f פונקציה יוצרת של a אז ) f(x יוצרת את b כאשר b a ואם m אז 0 m b a דוגמה: נמצא פונקציה יוצרת של הסדרה a המוגדרת ע"י x שיוצרת +x יוצרת את x x x a (,,,,4,4,8,8, ) x אז יוצרת את ),,,4,8) אז אנחנו רוצים לרווח את הסדרה ונציב x ונקבל x יוצרת את ),0,,0,,0,4) מסכום x f את ),,0,,0,4,0) מהזזה ימינה המבוקש )7( גזירה: אם f יוצרת את a a אז יוצרת את הסדרה, 3 b a, a, 3a דוגמה: נמצא פונקציה יוצרת עבור הסדרה e e ; e יודעים יוצרת את x יוצרת את ) (,,3,4, a אז + a x x x אז x ) (,,,, ואז יוצרת את b עבור b ימינה ונקבל יוצרת את יוצרת את + + b + נזיז מקום אחד x+x x 3 ו b a x f t dt 0 )8( אינטגרציה: אם f x יוצרת את a אז יוצרת את b כאשר 0 0 b )9( כפל: אם f, g יוצרות את a, b בהתאמה אז המכפלה f g יוצרת את הסדרה c כאשר c a b 0 + a b + + a 0 b i0 a i b i הוכחה: f g a x b m x m 0 m0 a 0 + a x + a x + b 0 + b x + b x + c יוצרת את c כאשר i0 a i f x a,,, )0( סכימה: אם f פונקציה יוצרת את a אז הוכחה: מקרה פרטי של )9( עם נמצא פונקציה יוצרת דוגמה: מצאו את x+x x+x פיתרון: מצאנו את הפונקציה היוצרת של a אז מ-) 0 ( x x 3 x 4 מהו המקדם של בפיתוח לטור של הפונקציה היוצרת? נשים לב ש יוצרת את x x 3 x x לכן, ו- x 6 ו- x 3 x 4 wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

34 34 x m 0 m 0 x x 3 x 3 m + 3 m + m + x m m x m לכן g x x x + x x m m + 3 x x + x m + x m m + 3 x x + x m כלומר המקדם של x הוא ונפתח שימושים a 0 i S x i טענה: 0 N S,, S קבוצות אזי a x לקבל את כסכום s + s + + s כאשר s i S i כאשר הוא מספר הדרכים הוכחה: נובע מהשוואת המקדם של x בשני האגפים קומבינטוריקה על הכפל והסכום לדוגמה,7,0 3 S 0,,, S N eve 0, S + x + x + x + x 4 + x 6 + x + x 7 + x 0 x 0 + דוגמה: נוכיח כי אם נסמן 0 N S i לכל i אז נקבל x פיתרון: 0 x x i S i x a x 0 wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

35 35 a + כאשר a הדרכים לקבל את כסכום של s + s + + s לכל הוא מספר דוגמה: מצאו את מספר הפיתרונות של המשוואה 9 3 x + x + x כאשר x 4, x, 4 3 x נסמן y x, y x +, y 3 x 3 בשלמים למשוואה 8 3 y + y + y כאשר 0 6, y, 0 y 0 S 0,, S 0,,,,6, S 3 0,, נמצא את מספר הפתרונות 3 y נסמן: ונחפש את המקדם של x 8 + x + x + x + + x 6 + x + x + x x7 x 3 x x x + x x7 x 3 x + x x3 x 7 + x 0 + x x 3 x 7 + x x x 3 x 4 x 7 x x x ומתרגיל קודם נקבל ב- wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

36 36 8 הגרפים תורת גרף )הגדרה(: גרף הוא G,V E זוג סדור כאשר V הינה קבוצה הנקראת קבוצת קבוצת הזוגות של איברי V הערות: הקודקודים ו- E היא אם E(G),u v צלע של גרף G ועבור u v הצלע תקרא לולאה אם בין u ל- v מחברות בגרף G יותר מצלע אחת, נאמר כי ב- G יש צלע כפולה בין u ל- v אם צלעות של G הן זוגות סדורים, אז G נקרא גרף מכוון אם צלעות G הן צלעות לא סדורים, אז G נקרא גרף לא מכוון )( )( )3( )4( V מכאן והלאה, נדון רק בגרפים לא מכוונים, ללא לולאות, ללא צלעות כפולות בלבד וכאשר סופי איזומורפיזם של גרפים )הגדרה(: נקראת איזומורפיזם אם יהיו ) G V, E, G (V, E גרפים הפונקציה φ: V V חח"ע ועל V φ )( )( לכל u, v V מתקיים u, v E φ u, φ v E גרפים איזומורפיים )הגדרה(: גרפים G, G נקראים איזומורפיים אם קיים איזומורפיזם φ בין טענה: יחס האיזומורפיזם על גרפים הוא יחס שקילות הוכחה: מיידי G לבין G הגדרה: מחלקת שקילות תחת יחס איזומורפיזם של גרפים נקראת גרף לא מסומן כלומר, גרף ללא שמות של קודקודים! טענה: נסמן ב- f את מספר הגרפים הלא מסומנים על קודקודים אזי f הוכחה: נשים לב כי גרף G עם קבוצת קודקודים מתואר על ידי זוגות של צלעות אפשריות לכן יש סה "כ גרפים מסומנים על קודקודים לכן f בהינתן גרף G V, E על קודקודים יש בדיוק! פונקציות :φ V V חח"ע ועל V לכן נקבל לכל היותר! גרפים על קודקודים שאיזומורפיים ל- G )כולל זהות( לכן, מחלקת שקילות גרפים מסומנים על יש לכל קודקודים מחולקים למחלקות שקילות )לפי איזומורפיזם( כך שבכל היותר! גרפים לכל מספר מחלקות השקילות הוא לפחות! f o f מסקנה: הוכחה: f! F ו- E U V אם G V, E l! o תת גרף )הגדרה(: גרף H,U F הוא תת גרף של גרף תת גרף פורש )הגדרה(: אם H,U F הוא תת-גרף של G,V E אבל U V נאמר ש- H תת-גרף פורש של G wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

37 37 גרף נפרש )הגדרה(: יהי G,V E גרף ותהי V 0 V 0 קבוצת קודקודים בתוך G הגרף הנפרש ע"י המסומן ע"י G V 0 הוא תת גרף של G המוגדר ע"י V G V 0 V 0 ו- E G V 0 e E G e V 0 V 0 8 דרגות דרגה )הגדרה(: יהי G,V E גרף הדרגה של קודקוד v, V G המסומנת ב- d G v מוגדרת ע"י d G v e E G v e d G v v V טענה: לכל גרף G V, E מתקיים E הוכחה: בספירה באגף שמאל כל צלע u, v e E G ופעם אחת עבור v( ולכן הסכום שווה ל- E נספרת בדיוק פעמיים כל צלע )פעם אחת עבור u מסקנה: בכל גרף G,V E יש מספר זוגי של קודקודים מדרגה אי זוגית )כי אחרת היינו מקבלים שהסכום אי זוגי( גרף d -רגולרי )הגדרה(: גרף G V, E נקרא d -רגולרי אם d G v d לכל v V G דוגמה: האם קיים גרף 5 רגולרי על 3 קודקודים? לא, סכום הדרגותאי-זוגי אז לא יתכן הילוכים, 8 מסלולים ומעגלים G V, E גרף סדרת קודקודים W v 0, v,, v נקראת הילוך ב- G אם לכל i 0 האורך של הילוך כזה הוא G,V E גרף הילוך p בו כל קודקוד מופיע פעם אחת נקרא מסלול הילוך )הגדרה(: יהי v i, v i+ E G מסלול )הגדרה(: יהי טענה: יהי W הילוך בגרף G,V E המחבר בין u לבין v אז W מכיל מסלול p המחבר בין u לבין v הוכחה: באינדוקציה על האורך של W )נסמנו ב- l ( עבור 0 :l במקרה כזה W v 0 אז ניתן לקחת P W צעד האינדוקציה: נניח שיש W v 0, v,, v l אם ב- W אף קודקוד לא חוזר על עצמו אז סיימנו אחרת ב- W קיים קודקוד v i אשר חוזר על עצמו נסלק מ- W את כל הצלעות בין הופעות סמוכותשל v, i נקבל הילוך W אשר עדיין מחבר בין u לבין v והוא יותר קצר מ- W לכן לפי הנחת האינדוקציה, v לבין u המחבר בין p מכיל מסלול W W )( )( גרפים קשירים ורכיבי קשירות 38 גרף קשיר )הגדרה(: גרף G,V E נקרא גרף קשיר אם לכל,u, v V גרף G מכיל מסלול p המחבר בין u לבין v יחס קשירות )הגדרה(: יהי G,V E גרף יחס קשירות R על G מוגדר באופן הבא: אם,u v V אז v לבין u מכיל מסלול המחבר בין G אם u, v R טענה: לכל גרף G,V E יחס הקשירות R על G הוא יחס שקילות: הוכחה: )( רפלקסיביות: יש לוודא v, v R לכל v V כי אפשר לבחור W v wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

38 38 מסלול p המחבר בין u ל- v מחבר גם בין v ל- u ( הגרף אז,v u R סימטריות: אם,u v R שלנו אינו מכוון( גרף G מכיל אז גם u, w R כיוון ש- R u, v טרנזיטיביות: יש אם u, v, v, w R מסלול p המחבר בין u לבין v משתמשים בטענה שקיים מסלול גם לשרשור של המסלולים )מרפלקסיביות( )( )3( רכיב קשירות )הגדרה(: יהי G,V E גרף אם קבוצה V 0 V היא מחלקת שקילותשל G לפי יחס קשירות, אז נקרא רכיב קשירות מעגל )הגדרה(: יהי G V, E גרף הילוך W v 0,, v ב- G נקרא מעגל אם 3 וגם v 0 v וכל שאר הקודקודים שונים מ- v 0 ושונים זה מזה מעגל זוגי ואי זוגי )הגדרה(: מעגל C בגרף G נקרא זוגי אם הוא האורך זוגי אם הוא באורך זוגי ונקרא אי זוגי אחרת V 0 גרפים 48 דו -צדדים גרף דו-צדדי )הגדרה(: גרף G,V E נקרא גרף דו צדדי אם קיימת חלוקה של V A B כך ש A B φ e E G e V A e V B )( )( מרחק )הגדרה(: בהינתן גרף G V, E ו- u, v V G אז המרחק בין u ל- v המסומן ב- dist u, v הוא האורך המינימאלי של מסלול ב- G אשר מחבר בין u ל- v אם ב- G אין מסלול המחבר בין u ל- v אז נסמן dist u, v משפט: גרף G,V E הוא דו-צדדי אמ"מ G אינו מכיל מעגלים אי-זוגיים הוכחה: נתון G דו צדדי צ"ל ש- G אינו מכיל מעגלים אי-זוגיים כיוון ש- G דו צדדי קיימת חלוקה V A B כך ש- A e B e לכל e E G נניח בשלילה כי G מכיל מעגל C v, v,, v +, v באורך + בלי הגבלת הכלליות נניח כי v A לכן, כיוון ש- G דו צדדי נובע כי v B ואז v 3 B ולבסוף v + B אבל אז v +, v A ו- v, v + E G סתירה נתון G אינו מכיל מעגלים אי-זוגיים וצריך להוכיח ש- G דו צדדי נוכל להניח כי גרף G הוא גרף קשיר אם c,, c t הם רכיבי הקשירות של G ו- c i הוא גרף דו צדדי עם חלוקה A i B i המוגדרת ע"י B B B B t ו- A A A A t היא חלוקה דו-צדדית של G נניח אם כן כי G הוא גרף קשיר ללא מעגלים אי-זוגיים נבחר קודקוד שרירותי, u, v E G נשים לב, אם V i u V dist V 0, u i נגדיר i ולכל 0 V 0 V v V j,u V i אז j i נגדיר חלוקה של V A B באופן הבא: )( )( A V 0 V V 4 B V V 3 V 5 כיוון ש- G הוא גרף קשיר, נובע כי V A B )ברור כי )A B φ כיוון ששמנו לב כי אין צלע בין V i, V j כאשר j i נותר לבדוק כי לכל 0 i הקבוצה V i לא מכילה אף צלע נניח בשלילה כי שכבה V i מכילה צלע,u v E G ויהי P w מסלול באורך i מ- w ל- V 0 יהי V j הקודקוד הראשון בו P u, P w נפגשים )יתכן 0,j )v V v 0 קיבלנו שני wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

39 39 מסלולים באורך i, j הראשון מ- u אל v והשני מ- w אל v שני המסלולים האלה, ביחד עם צלע u, w סוגרים מעגל C באורך + j i ולכן C הוא מעגל אי-זוגי וקיבלנו סתירה 48 משפט הול לגרפים דו-צדדיים זיווג )הגדרה(: בניתן גרף G V, E קבוצת צלעות M E נקראית זיווג ב- G אם e e φ לכל e, e M הרוויה )הגדרה(: בהינתן גרף דו-צדדי A B, E G זיווג M E מרווה את צד A אם M A מטרתנו למצוא תנאי מספיק והכרחי לקיום של זיווג מרווה צד נתון בגרף דו צדדי סימון: יהי G A B, E גרף דו צדדי ותהי A 0 A הסביבה של A 0 ע"י ב- G המסומנת ב-( N(A 0 מוגדרת N A 0 b B e E b e e\{b} A 0 תנאי הול :)Hall( עבור צד A בגרף דו-צדדי G A B, E לכל A 0 A מתקיים N A 0 A 0 משפט הול: יהי G A,B E גרף דו צדדי ב- G קיים זיווג M בגודל M A A אמ"מ תנאי הול מתקיים עבור צד A( הוכחה: )כלומר זיווג שמרווה את נתון שב- G קיים זיווג M המרווה את A וצריך להוכיח שתנאי הול מתקיים עבור צד A נניח כי i j b i b j מתקיים זיווג כיוון ש- M M a, b,, a, b ו- A a,, a נניח A 0 A נגדיר B 0 b i a i A 0 אז B 0 A 0 ו- B 0 N A 0 ולכן N A 0 B 0 A 0 נתון שתנאי הול מתקיים עבור A וצריך להוכיח שקיים ב- G זיווג M המרווה את A ההוכחה באינדוקציה על A בסיס האינדוקציה: A נניח A a כיוון שתנאי הול מתקיים עבור, A נובע כי לקודקוד a יש שכן b בצד B לכן צלע e a, b היא הזיווג הרצוי צעד האינדוקציה: נניח שתנאי הול מתקיים עבור A ונראה שהיא מתקיים עבור + A מקרה ראשון: לכל φ A A מתקיים N A A + במקרה כזה, נבחר קודקוד a A שרירותית אחרי זה, נבחר קודקוד b B עבורו a, b E נסלק את a, b ונקבל A G בגרף A נשים לב כי תנאי הול מתקיים עבור A, B עם צדדים G כי לכל A 0 גרף חדש מתקיים N G A 0 N G A 0 A 0 + A 0 )( )( ולכן לפי הנחת האינדוקציה ב- G קיים זיווג בגודל A M A הצלע a, b ונקבל זיווג M בגודל A M + M נוסיף ל- M את מקרה שני: קיימת קבוצה φ A 0 A כך ש- N A 0 A 0 נגדיר B N G A נגדיר A A\A, B B\B, G G A B, G A B נשים לב, קבוצות הקודקודים של G, G זרות זו לזו נמצא זיווג M בגודל M A ב- G ונמצא זיווג M בגודל A M + M בגודל היא זיווג ב- G M M ואז קבוצה M G ב- M A M M wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom

40 40 גרף :G נשים לב כי לכל X A ו- N G X N G X כיוון שתנאי הול מתקיים ב- G עבור A נובע כי N G X X ולכן גם N G X X ואז תנאי הול מתקיים גם עבור A ב- G מכאן, לפי הנחת האינדוקציה, ב- G קיים זיווג M בגודל M A גרף :G תהי N G A X N G A N G X φ X A נפריד בצורה מלאכותית N G A X N G A N G X \N G A נשים לב כי N G N G X \B N G A ולכן N G A X N G A N G X כלומר N G A X N G A + N G X ולכן לפי תנאי הול עבור G N G A X N G A + N G X A X A + X ומכאן N G X X לכן, תנאי הול מתקיים עבוד צד A ב- G ולפי אינדוקציה ב- G קיים זיווג M בגודל M A נסמן M M M כיוון של- G ו- G קודקודים זרים, M הוא זיווג בגודל M M + M A + A A 48 וסיימנו משפט הול ומערכות נציגים שאלה: בהינתן קבוצות S, S,, S )לאו דווקא זרות( האם קיימת בחירת נציגים i a i S i כך שלכל i j מתקיים?a i a j אם בחירה כזאת קיימת, נאמר כי ל- S, S,, S קיימת מערכת נציגים שונים )מנ"ש( משפט: למשפחת קבוצות S,, S i I S i I קיימת מנ"ש אמ"מ לכל קבוצת אינדקסים φ I מתקיים הוכחה: תרגיל wwwbarviogradcom/uiversity ui@barviogradcom